On tombe souvent sur la formule cos(a+b) = cos a cos b – sin a sin b sans trop savoir d’où elle sort. On l’apprend par coeur, on l’applique dans un exercice, puis on l’oublie. Le problème, c’est qu’en la plaquant sans la comprendre, on perd toute capacité à la retrouver le jour où la mémoire flanche. La bonne nouvelle : une figure bien construite sur le cercle trigonométrique suffit à démontrer cette identité, et toutes celles qui en découlent.
Pourquoi la formule cos cos sin sin résiste à la mémorisation
Quand on révise les formules d’addition, on se retrouve face à quatre expressions qui se ressemblent beaucoup. Le signe change, l’ordre s’inverse, et le mélange cos cos / sin sin crée une confusion presque garantie. Les moyens mnémotechniques du type « coco-sisi » aident un temps, mais ils ne remplacent pas la compréhension du mécanisme.
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Le vrai levier, c’est de rattacher chaque terme de la formule à une longueur sur une figure. Une fois qu’on voit cos a cos b comme un produit de deux projections, la formule cesse d’être abstraite. On sait la reconstruire à partir d’un dessin, même sans l’avoir révisée la veille.
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Démonstration géométrique de cos(a – b) sur le cercle trigonométrique
On part du cercle trigonométrique de rayon 1. On place deux points M et N sur ce cercle, correspondant aux angles a et b mesurés depuis l’axe horizontal. Les coordonnées de M sont (cos a, sin a) et celles de N sont (cos b, sin b).
Calcul de la distance MN par deux chemins
On calcule la distance MN au carré de deux façons différentes, puis on compare les résultats.
Premier chemin : la formule de distance entre deux points du plan. On développe (cos a – cos b)² + (sin a – sin b)². En dépliant, on obtient cos²a – 2 cos a cos b + cos²b + sin²a – 2 sin a sin b + sin²b. Comme cos²a + sin²a = 1 et cos²b + sin²b = 1, il reste 2 – 2(cos a cos b + sin a sin b).
Deuxième chemin : on utilise la loi d’Al-Kashi (généralisation du théorème de Pythagore) dans le triangle formé par le centre du cercle O, le point M et le point N. Les deux côtés OM et ON mesurent 1 (rayon du cercle), et l’angle entre eux vaut (a – b). La loi d’Al-Kashi donne MN² = 1 + 1 – 2 cos(a – b), soit 2 – 2 cos(a – b).
Identification terme à terme
On a deux expressions du même MN². En les égalant :
2 – 2(cos a cos b + sin a sin b) = 2 – 2 cos(a – b)
On simplifie, et on obtient directement : cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b. Pas de tour de passe-passe algébrique, juste deux lectures d’une même distance sur le cercle.
Passage de cos(a – b) à cos(a + b) et aux formules sinus
Une fois la formule de cos(a – b) établie, on dérive toutes les autres formules d’addition sans nouvelle figure. C’est un point que les cours classiques survolent, alors que c’est là que la logique se verrouille.
Obtenir cos(a + b)
On remplace b par -b dans la formule démontrée. Comme cos(-b) = cos b (fonction paire) et sin(-b) = -sin b (fonction impaire), on obtient :
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b. C’est la fameuse formule « cos cos sin sin » avec le signe moins. Le signe change uniquement parce que sin est impaire.
Obtenir sin(a + b) et sin(a – b)
On utilise la relation cos(π/2 – x) = sin x. En écrivant sin(a + b) = cos(π/2 – (a + b)) = cos((π/2 – a) – b), on applique la formule de cos(a – b) avec les angles (π/2 – a) et b. Après simplification, on retrouve sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b. Le même remplacement de b par -b donne sin(a – b).
Toutes ces formules découlent donc d’une seule démonstration géométrique et de propriétés de parité. Voici les quatre identités obtenues :
- cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b (démontrée par la distance sur le cercle)
- cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b (par remplacement de b par -b)
- sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (par complémentarité avec π/2)
- sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (par parité de sin)
Vérification rapide avec des angles connus
Pour s’assurer qu’on n’a pas fait d’erreur de signe, on teste avec des valeurs simples. Prenons a = π/3 et b = π/6, soit a + b = π/2.
cos(π/2) doit valoir 0. On calcule : cos(π/3) cos(π/6) – sin(π/3) sin(π/6). En remplaçant par les valeurs classiques, on trouve bien 0. Ce type de vérification prend quelques secondes et détecte immédiatement une inversion de signe.
Utilité concrète au-delà de l’exercice de maths
Les formules cos cos sin sin ne servent pas qu’en contrôle de trigonométrie. Historiquement, ces identités ont été développées par les savants de l’Âge d’or islamique pour calculer des angles en astronomie et mesurer des distances terrestres à partir d’observations angulaires.
En physique, dès qu’on additionne deux signaux sinusoïdaux de fréquences proches, on utilise ces formules pour faire apparaître des battements. En ingénierie, la formule d’aire d’un triangle (1/2 ab sin C) exploite directement le sinus comme facteur géométrique qui traduit l’ouverture de l’angle. La comparer à la formule de Héron permet de vérifier numériquement la cohérence de données mesurées sur le terrain.
Retenir la démonstration géométrique plutôt que la formule brute, c’est se donner les moyens de la reconstruire dans n’importe quel contexte, examen ou application technique. Le cercle trigonométrique, deux points, une distance calculée deux fois : toute la trigonométrie d’addition tient dans cette figure.
